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Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jacob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation

( q , p ) → → ( q ′ , p ′ ) {\displaystyle (q,p)\rightarrow (q',p')}

zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:

H ~ ~ ( q ′ , p ′ , t ) = 0 {\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=0}

Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten q ′ {\displaystyle q'} , als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten p ′ {\displaystyle p'} Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:

∂ ∂ H ~ ~ ∂ ∂ p k ′ = q ˙ ˙ k ′ = 0 ⇔ ⇔ q k ′ = c o n s t − − ∂ ∂ H ~ ~ ∂ ∂ q k ′ = p ˙ ˙ k ′ = 0 ⇔ ⇔ p k ′ = c o n s t . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial p'_{k}}}&={\dot {q}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad q'_{k}=\mathrm {const} \\-{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial q'_{k}}}&={\dot {p}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad p'_{k}=\mathrm {const} .\end{aligned}}}

Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden S {\displaystyle S} . Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:

H ~ ~ ( q ′ , p ′ , t ) = H ( q , p , t ) + ∂ ∂ S ∂ ∂ t = 0. {\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}

Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion S ( q , p ′ , t ) {\displaystyle S(q,p',t)} gewählt, die von den alten Ortskoordinaten q {\displaystyle q} und den neuen (konstanten) Impulsen p ′ {\displaystyle p'} abhängt, so dass

p k = ∂ ∂ S ( q k , p k ′ , t ) ∂ ∂ q k , q k ′ = ∂ ∂ S ( q k , p k ′ , t ) ∂ ∂ p k ′ . {\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}}\ ,\quad q'_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}}.}

Eingesetzt in H ~ ~ = 0 {\displaystyle {\tilde {H}}=0} ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für S {\displaystyle S} :

H ( q k , ∂ ∂ S ∂ ∂ q k , t ) + ∂ ∂ S ∂ ∂ t = 0 {\displaystyle H\!\left(q_{k},{\frac {\partial {S}}{\partial q_{k}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}

Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen q k {\displaystyle q_{k}} und t {\displaystyle t} für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion S {\displaystyle S} (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).

• Herleitung der Hamilton-Jacobi-Gleichung aus dem Wirkungsintegral

• Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion

• Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator

• Literatur

Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional

S [ q ] ( t ) = ∫ ∫ 0 t L ( s , q ( s ) , q ˙ ˙ ( s ) ) d s {\displaystyle S[q](t)=\int _{0}^{t}L(s,q(s),{\dot {q}}(s))\mathrm {d} s}

mit der Lagrange-Funktion L {\displaystyle L} . Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h.

d S d t = L {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=L} .

Sieht man S {\displaystyle S} jedoch als Funktion der Koordinaten q {\displaystyle q} und t {\displaystyle t} an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential

d S d t = ∂ ∂ S ∂ ∂ t + ∑ ∑ ∂ ∂ S ∂ ∂ q k d q k d t = ∂ ∂ S ∂ ∂ t + ∑ ∑ ∂ ∂ S ∂ ∂ q k q k ˙ ˙ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}{\frac {\mathrm {d} q_{k}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}{\dot {q_{k}}}} .

Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen

∂ ∂ S ∂ ∂ q k = ∫ ∫ 0 t ∂ ∂ L ∂ ∂ q k d s = ∫ ∫ 0 t d d s ∂ ∂ L ∂ ∂ q k ˙ ˙ d s = ∂ ∂ L ∂ ∂ q k ˙ ˙ = p k {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}=\int _{0}^{t}{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}\mathrm {d} s=\int _{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}\mathrm {d} s={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}=p_{k}}

mit den kanonischen Impulsen p k {\displaystyle p_{k}} . Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von S {\displaystyle S} erhält man somit

d S d t = L = ∂ ∂ S ∂ ∂ t + ∑ ∑ p k q k ˙ ˙ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=L={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum p_{k}{\dot {q_{k}}}} ,

woraus nach der Definition der Hamilton-Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt.

Für konservative Systeme (d. h. H {\displaystyle H} nicht explizit zeitabhängig: H ( q , p ) ≠ ≠ H ( t ) {\displaystyle H(q,p)\neq H(t)} ) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion S ( q , p ′ ) {\displaystyle S(q,p')} konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt

H ( q , p ) ⇒ ⇒ H ~ ~ ( p ′ ) {\displaystyle H(q,p)\Rightarrow {\tilde {H}}(p')}

Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung:

p ˙ ˙ ′ = − − ∂ ∂ H ~ ~ ( p ′ ) ∂ ∂ q ′ = 0 ⇔ ⇔ p ′ = c o n s t , {\displaystyle {\dot {p}}'=-{\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial q'}}=0\Leftrightarrow p'=\mathrm {const} ,}

die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit:

q ˙ ˙ ′ = ∂ ∂ H ~ ~ ( p ′ ) ∂ ∂ p ′ = C ⇔ ⇔ q ′ = C t + b {\displaystyle {\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}=C\Leftrightarrow q'=Ct+b} mit C , b = c o n s t . {\displaystyle C,b=\mathrm {const} .}

Für S ( q , p ′ ) {\displaystyle S(q,p')} muss gelten

p = ∂ ∂ S ( q , p ′ ) ∂ ∂ q , {\displaystyle p={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}},}

q ′ = ∂ ∂ S ( q , p ′ ) ∂ ∂ p ′ {\displaystyle q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}}

Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für S ( q , p ′ ) {\displaystyle S(q,p')} für konservative Systeme:

H ( q , p ) ⇒ ⇒ H ( q , ∂ ∂ S ( q , p ′ ) ∂ ∂ q ) = H ~ ~ ( p ′ ) . {\displaystyle H(q,p)\Rightarrow H\left(q,{\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)={\tilde {H}}(p').}

Zur Veranschaulichung von S {\displaystyle S} wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet

d d t S ( q , p ′ ) = ∂ ∂ S ∂ ∂ q q ˙ ˙ + ∂ ∂ S ∂ ∂ p ′ p ˙ ˙ ′ = p q ˙ ˙ + q ′ p ˙ ˙ ′ = p q ˙ ˙ w e g e n p ˙ ˙ ′ = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\,S(q,p')&={\frac {\partial S}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial S}{\partial p'}}{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}+q'{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}\quad \quad \quad \mathrm {wegen} \;{\dot {p}}'=0.\end{aligned}}}

Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion L = T − − V {\displaystyle L=T-V} , wobei T {\displaystyle T} die kinetische Energie ist, V ( q ) {\displaystyle V(q)} das Potential):

d d t S ( q , p ′ ) = ∂ ∂ L ∂ ∂ q ˙ ˙ q ˙ ˙ = ∂ ∂ T ∂ ∂ q ˙ ˙ q ˙ ˙ = 2 T {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}S(q,p')={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}=2T} .

Die zeitliche Integration liefert

S = ∫ ∫ t 1 t 2 2 T d t = W , {\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}2T\ \mathrm {d} t=W,}

also ist S ( q , p ′ ) {\displaystyle S(q,p')} mit dem Wirkungsintegral identisch.

Sei U = U ( q ) {\displaystyle U=U(q)} ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet

H ( p , q ) = p 2 2 m + U ( q ) , {\displaystyle H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+U(q),}

die Hamilton-Jacobi-Gleichung

1 2 m ( ∂ ∂ S ( q , p ′ ) ∂ ∂ q ) 2 + U ( q ) = H ~ ~ = E . {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+U(q)={\tilde {H}}=E.}

Beim eindimensionalen Oszillator ist H ~ ~ {\displaystyle {\tilde {H}}} die einzige Konstante der Bewegung. Da p ′ {\displaystyle p'} ebenfalls konstant sein muss, setzt man p ′ = H ~ ~ = E {\displaystyle p'={\tilde {H}}=E} , was für alle konservativen Systeme möglich ist.

( ∂ ∂ S ( q , p ′ ) ∂ ∂ q ) 2 + 2 m U ( q ) = 2 m p ′ {\displaystyle \left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+2mU(q)=2mp'}

Durch Integrieren folgt

S ( q , p ′ ) = 2 m ∫ ∫ q 0 q ( p ′ − − U ( q ~ ~ ) ) d q ~ ~ , {\displaystyle S(q,p')={\sqrt {2m}}\int _{q_{0}}^{q}{\sqrt {(p'-U({\tilde {q}}))}}\,\mathrm {d} {\tilde {q}},}

mit q ′ = ∂ ∂ S ( q , p ′ ) ∂ ∂ p ′ {\displaystyle q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}}

q ′ = m 2 m ∫ ∫ q 0 q d q ~ ~ p ′ − − U ( q ~ ~ ) . {\displaystyle q'={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {p'-U({\tilde {q}})}}}.}

Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem

q ˙ ˙ ′ = ∂ ∂ H ~ ~ ( p ′ ) ∂ ∂ p ′ = ∂ ∂ E ∂ ∂ p ′ = ∂ ∂ p ′ ∂ ∂ p ′ = 1 , {\displaystyle {\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}={\frac {\partial E}{\partial p'}}={\frac {\partial p'}{\partial p'}}=1,}

⇒ ⇒ q ′ = t − − t 0 . {\displaystyle \Rightarrow q'=t-{t_{0}}.}

Um die Bewegung in p ( t ) {\displaystyle p(t)} und q ( t ) {\displaystyle q(t)} darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden

p ( t ) = ∂ ∂ S ( q , p ′ ) ∂ ∂ q = 2 m ( p ′ − − U ( q ) ) , {\displaystyle p(t)={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}={\sqrt {2m(p'-U(q))}},}

q ′ = t − − t 0 = m 2 m ∫ ∫ q 0 q d q ~ ~ E − − U ( q ~ ~ ) . {\displaystyle q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-U({\tilde {q}})}}}.}

Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit U ( q ) = 1 2 a q 2 {\displaystyle U(q)={\frac {1}{2}}aq^{2}}

p ( t ) = 2 m ( E − − 1 2 a q 2 ) , {\displaystyle p(t)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}aq^{2}\right)}},}

q ′ = t − − t 0 = m 2 m ∫ ∫ q 0 q d q ~ ~ E − − 1 2 a q ~ ~ 2 . {\displaystyle q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-{\frac {1}{2}}a{\tilde {q}}^{2}}}}.}

Somit (für den Fall q 0 = 0 {\displaystyle q_{0}=0} )

t − − t 0 = m a arcsin ⁡ ⁡ a 2 E q {\displaystyle t-{t_{0}}={\sqrt {\frac {m}{a}}}\arcsin {\sqrt {\frac {a}{2E}}}q}

und letztlich

q ( t ) = 2 E a sin ⁡ ⁡ a m ( t − − t 0 ) , {\displaystyle q(t)={\sqrt {\frac {2E}{a}}}\sin {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0})},}

p ( t ) = 2 m E cos ⁡ ⁡ a m ( t − − t 0 ) . {\displaystyle p(t)={\sqrt {2mE}}\cos {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0}}).}

• Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.